ООО или ЧУП?
Давайте для начала здороваться. Поэтому — здравствуйте, Ольга!
«Что лучше открыть» — зависит от специфики каждой конкретной ситуации. Общую информацию читайте здесь: https://expert-m.by/chto-luchshe-zaregistrirovat-ip-chup-ili-ooo/
Оформиться можно директором по совместительству (не более чем на 0,5 ставки).
Запись в трудовую книжку о работе по совместительству вносить не обязательно (т.е. по желанию).
Запись в трудовую книжку сведений о работе по совместительству вносится нанимателем по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству (справка о месте работы, службы и занимаемой должности либо копия приказа нанимателя, у которого работник работает по совместительству).